Как вычислить площадь треугольника

как вычислить площадь треугольника

  • Треугольник — плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками попарно пересекающихся прямых. Точки пересечения называются вершинами треуголиника и обычно обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C. Величины углов при вершинах, по которыми пересекаются прямые принято обозначать соответствующими греческими буквами: α, β, γ. Противолежащие углам отрезки прямых, ограничивающие треугольник, называются ребрами (сторонами) треугольника и обозначаются соответственно a, b, c.
    Ниже приведены формулы по которым можно найти площадь S треугольника с вершинами A, B, C, величинами соотвествующих углов α, β, γ и противолежащими им сторонами a, b, c:
    S = a•b•sin(γ)/2 = a•c•sin(β)/2 = b•c•sin(α)/2,
    S = a•а•sin(β)•sin(γ)/(2•sin(β + γ),
    S = √(p•(p – a)•(p – b)•(p – c)) (формула Герона) ,
    где √(...) — обозначение квадратного корня, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.
    S = a•ha/2 = b•hb/2 = c•hc/2,
    где ha — высота, опущенная из вершины A на сторону a, hb — из вершины B на сторону b, hc — из вершины C на сторону c.
    S = r•p,
    где r — радиус вписанной в треугольник окружности, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.
    S = a•b•c/4R,
    где R — радиус окружности описанной вокруг треугольника.

    Если заданы декартовы координаты точек на плоскости A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то площадь S можно найти по следующей формуле (через определитель второго порядка для матрицы разниц координат) :
    S = |(x1 – x3)•(y2 – y3) – (x2 – x3)•(y1 – y3)|/2,
    где |...| — обозначение модуля. Эта формула получена из выражения для векторного произведения двух векторов на плоскости, которое по абсолютной величине равно значению определителя, составленного из их координат.

    Для специальных видов треугольников существуют дополнительные, в том числе более простые формулы для вычисления площади:
    Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?
    Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого составляет 90° (является прямым) . Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол в треугольнике может быть только один.
    Ниже приводятся формулы формулы вычисления площади S, специфическикие для прямоугольных треугольников. Обозначения: с — длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) , a, b — длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу) , α, β — величины противолежащих этим катетам углов (α + β = 90°).

    По двум катетам:
    S = a•b/2

    По катету и противолежащему углу:
    S = a•а/2tg(α) = b•b/2tg(β)

    По катету и прилежащему острому углу:
    S = a•a•tg(β)/2 = b•b•tg(α)/2
    По гипотенузе и острому углу:
    S = c•c•sin(α)•cos(α)/2 = c•c•sin(β)•cos(β)/2 = c•c•sin(α)•sin(β)/2

    По гипотенузе и катету:
    S = a•√(c•c – a•a)/2 = b•√(c•c – b•b)/2.

    Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?
    Равнобедренным называют треугольник, имеющий две равные по величине стороны. Две равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Частным случаем равнобедренного труегольника является равносторонний или правильный треугольник, у которого основание равно боковым сторонам.
    Введем обозначения:
    a — боковая сторона равнобедренного треугольника;
    с — основание равнобедренного треугольника;
    h — высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание;
    α — угол между основанием и боковой стороной;
    γ — угол между боковыми сторонами.

    Тогда площадь S равнобедренного треугольника можно найти по следующей основной формуле:
    S = h•c/2.
    Из этой формулы легко вывести другие:
    S = (a•c/2)•cos(γ/2) = (a•c/2)•sin(α/2),
    S = (с•c/2)/tg(γ/2) = (с•c/2)•tg(α/2),
    S = a•a•sin(γ/2)•cos(γ/2) = a•a•sin(α/2)•cos(α/2).
    Площадь по основанию и боковой стороне (без определения углов) можно вычислить по следующей формуле:
    S = (c/2)•√(a•a – c•c/4).

    Равносторонний треугольникS=a•a•√3/4

    Источник: «В действительности все выглядит иначе, чем на самом деле» . (С) Станислав Ежи Лец
  • произведение основания на половину высоты
  • Или половина произведения основания на высоту.

    S = 1/2ah
    S = 1/2ab sin &alpha
    S=&sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
    S = pr
    S=(abc)/4R

    Прямоугольный треугольник
    S = 1/2ab

    Равносторонний треугольникS=(a*sqrt(3))/4

  • 1) для прямоугольного треугольника S=(h*a)/2
    2) для остальных: разбиваем на два прямоугольных треугольника затем см. пункт 1. складываем площади треугольников.

Вас заинтересует



Последние новости


Спор в корпоративном праве. Часть 7

7. Обеспечение эффективности в реализации норм права. Общепризнано, что управомочивающие нормы, установленные государством, реализуются людьми более охотно, чем обязывающие и запрещающие. Это связано с тем, что степень волевого начала в данном случае выше. Нормы же корпоративного права, особен...
Читать далее »

Лицензионный режим предпринимательской деятельности

Регулирование бизнеса со стороны государства в значительной степени обеспечивается наличием лицензионного режима предпринимательской деятельности, который, по сути, представляет собой совокупность методов и способов правового регулирования определенных (подлежащих лицензированию) видов дея...
Читать далее »

Понятие ценной бумаги. Часть 5

Осуществление прав по предъявительским эмиссионным ценным бумагам производится по предъявлении их владельцем либо его доверенным лицом. В случае хранения сертификатов документарных эмиссионных ценных бумаг в депозитариях права, закрепленные ценными бумагами, осуществляются на основании пр...
Читать далее »

Понятие и признаки корпорации. Часть 6

И, наконец, Пятый признак, отличающий корпорации от других образований, заключается в том, что любая корпорация создается для осуществления какой либо социально полезной деятельности. Нужно признать, что ни прямого и четкого законодательного определения понятия «социально полезная деятельн...
Читать далее »

Ответственность за нарушение корпоративных норм. Часть 13

Действительно, согласно пункту 2 ст. 44 Арбитражного процессуального кодекса РФ (АПК РФ) истцами являются организации и граждане, предъявившие иск в защиту своих прав и законных интересов. Участники корпораций если и могут предъявить подобный иск, то только в интересах корпорации, поэтому истцом в лю...
Читать далее »

Понятие дисциплины труда. Дисциплинарная ответственность. Часть 2

Что же касается дисциплинарной ответственности, подчеркнем, что ее приходится применять к работникам, виновно не исполняющим или недобросовестно исполняющим свои трудовые обязанности, т. е. за дисциплинарные проступки. Как справедливо указывает Т. В. Кашанина1, объем корпоративного правотворчес...
Читать далее »

Спор в корпоративном праве. Часть 6

Для моделирования таких быстротекущих процессов, каким, в частности, является предпринимательская деятельность, государственное регулирование подходит не всегда. Законодатель может указывать только общие ориентиры, предоставляя участникам гражданского оборота возможность самим определять вид ...
Читать далее »